针对未婚生子两边都不想要抚养权的问题，直接答案是：不可以，父母对未成年子女的抚养义务是法定的，不能通过协议或单方放弃免除。
1. 若双方均拒绝抚养，法院会根据子女利益优先原则判决抚养权归属，不会因父母意愿免除抚养义务。
2. 如果双方恶意推诿导致子女无人抚养，可能构成遗弃罪，面临刑事处罚。
3. 若子女已年满8周岁，法院会尊重其真实意愿，但仍需确定一方或双方承担抚养责任。
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针对未婚生子抚养权争议，以下是可能影响处理的特殊情况或例外情形。
1. 一方丧失抚养能力：若一方因重大疾病、残疾等丧失抚养能力，法院可能判决由另一方单独抚养，且不要求其支付抚养费。例如，母亲因车祸瘫痪，无经济来源，法院可能判决子女由父亲抚养，母亲无需支付抚养费。
2. 子女由祖父母/外祖父母抚养：若父母均无抚养能力，祖父母或外祖父母愿意抚养，法院可能支持由其抚养，但父母仍需支付抚养费。例如，父母均因犯罪入狱，祖父母申请抚养孙子女，法院判决支持后，父母需从监狱劳动报酬中支付抚养费。
3. 子女年满18周岁但仍在校就读：若子女已满18周岁但仍在接受高中及以下学历教育，父母仍需支付抚养费。例如，子女19岁时仍在读高三，父母需继续支付抚养费直至其高中毕业。
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针对未婚生子抚养权争议，以下是可能出现的法律风险点。
1. 遗弃罪风险：若双方均拒绝抚养，导致子女处于无人照料的危险状态，可能构成遗弃罪。例如，父母将刚出生的婴儿留在医院后失联，医院报警后，父母可能被追究刑事责任。
2. 抚养费追偿风险：若一方未支付抚养费，另一方有权向法院起诉追偿，未支付方可能被强制执行，包括冻结银行账户、划拨财产等。例如，父亲拒绝支付抚养费，母亲向法院申请强制执行后，父亲的工资被每月扣除部分用于支付抚养费。
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针对未婚生子抚养权争议，以下是常见的错误操作行为。
1. 拒绝履行临时抚养义务：双方在争议期间均拒绝照顾子女，导致子女生活无着，可能构成遗弃，面临治安处罚或刑事责任。
2. 伪造抚养能力证据：为争夺或逃避抚养权，伪造收入证明、居住证明等，一旦被法院查实，将承担不利后果，甚至可能被罚款或拘留。
3. 忽视子女意愿：若子女已满8周岁，父母未尊重其选择抚养权归属的意愿，可能导致法院判决与自身期望不符。
建议您避免上述错误，及时向律师咨询，确保抚养问题得到合法合理解决。

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